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Lu数值计算扩展动态库Lu Math V1.0

目 录

函数及类别 | 说 明
1 什么是LuMath
2 LuMath数组（矩阵）对象基本用法
3 LuMath常量
math::real_s | 用在函数new[math::real_s,... ...]中，申请数组或矩阵。该对象的基本类型为reals，扩展类型为real_s。
math::pi | math::pi=3.141592653589793
math::zeros | 用在函数math::subg中，表示返回全0矩阵。
math::ones | 用在函数math::subg中，表示返回全1矩阵。
math::eye | 用在函数math::subg中，表示返回单位矩阵。
math::rand | 用在函数math::subg中，表示返回0～1之间均匀分布的随机数矩阵。
math::randn | 用在函数math::subg中，表示返回均值为0，方差为1的标准正态分布的随机数矩阵。
4 LuMath运算符
加法 + | 数组（矩阵）加法。运行错误：1：不可识别对象；2：数组不存在；3：数组（矩阵）不匹配；4：内存错误。
减法 - | 数组（矩阵）减法。运行错误：1：不可识别对象；2：数组不存在；3：数组（矩阵）不匹配；4：内存错误。
乘法 * | 矩阵乘法。运行错误：1：不可识别对象；2：矩阵不存在；3：矩阵不匹配；4：内存错误。
转置 ' | 矩阵转置。运行错误：1：不可识别对象；2：矩阵不存在；3：内存错误。
点乘 .* | 数组点乘。运行错误：1：不可识别对象；2：数组不存在；3：数组不匹配；4：内存错误。
点左除 ./ | 数组点左除。运行错误：1：不可识别对象；2：数组不存在；3：数组不匹配；4：内存错误。
点乘方 .^ | 数组点乘方。运行错误：1：不可识别对象；2：数组不存在；3：数组不匹配；4：内存错误。
5 LuMath函数
重载函数 |
sin、cos、... ... | 该库对以下函数进行了重载，支持real_s类型对象的相关运算：new、copy、len、oset、oget、o、sqrt、exp、ln、lg、sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、abs、floor、ceil、atan2、fmod。
数（组）函数 |
math::ra1[2,3.5,-5] | 申请一维数组并初始化。 运行错误：1：不可识别参数，只接受实数或整数参数。
math::SetArray | 对数组或矩阵进行初始化。
math::outa | 输出数组或矩阵。
math::Sum | 数组元素求和。
sum | 该函数是重载函数，执行与math::Sum完全相同的运算。
math::ndgrid | 生成n维函数的辅助格点阵列。
copy | 该函数是重载函数。copy(a)将生成对象a的副本；copy(a,b)将数组b复制到数组a，两数组必须等长，并将多维数组视为一维维数；copy(a,abegin,b,bbegin,k)将数组b从地址bbegin开始的k个元素复制到数组a的自地址abegin开始的单元。运行错误：1：参数太多或者太少；2：数组不存在；3：数组不匹配 ；4：内存错误。
oset | 该函数是重载函数。设a是一个二维数组对象，则执行形如a[i,j]=2.0的赋值语句时将调用该函数。运行错误：1：参数太少；2：不可识别对象；3：数组不匹配；4：参数不符合要求。
oget | 该函数是重载函数。设a是一个二维数组对象，则执行形如a[i,j]的语句时将获得该对象元素的值。运行错误：1：参数太少；2：不可识别对象；3：数组不匹配；4：元素地址错误。
math::arrayfun | 以实数数组元素为自变量进行函数调用。实际上，很容易实现以任意元素（lu元素）为自变量进行函数调用的函数lufun。
math::reshape | 改变数组（矩阵）形状。
矩阵函数 |
math::matrix | 申请m×n矩阵并初始化。
math::subg | 返回一个矩阵的子矩阵。
math::subs | 设置一个矩阵的子矩阵。
math::row(a,b,n) math::row(a,b,x) | 产生一个单行矩阵（行向量）。a、b、x为实数，n为整数。a和b是行向量的第一个和最后一个元素，元素总数是n。或者，a是第一个元素，后面的元素按x递增，最后一个元素不超过b。
math::col(a,b,n) math::col(a,b,x) | 产生一个单列矩阵（列向量）。a、b、x为实数，n为整数。a和b是列向量的第一个和最后一个元素，元素总数是n。或者，a是第一个元素，后面的元素按x递增，最后一个元素不超过b。
math::linspace(a,b,n) math::linspace(a,b,x) | 产生一个一维数组。a、b、x为实数，n为整数。a和b是数组的第一个和最后一个元素，元素总数是n。或者，a是第一个元素，后面的元素按x递增，最后一个元素不超过b。
math::zeros(a) math::zeros(i,j) | 将矩阵a重新初始化为全0矩阵，或者生成一个i×j全0矩阵。运行错误：1：数组不存在；2：不是二维数组（矩阵）；3：内存错误；4：参数太多或者太少。
math::ones(a) math::ones(i,j) | 将矩阵a重新初始化为全1矩阵，或者生成一个i×j全1矩阵。运行错误：1：数组不存在；2：不是二维数组（矩阵）；3：内存错误；4：参数太多或者太少。
math::eye(a) math::eye(i,j) | 将矩阵a重新初始化为单位矩阵，或者生成一个i×j单位矩阵。运行错误：1：数组不存在；2：不是二维数组（矩阵）；3：内存错误；4：参数太多或者太少。
math::rand(a) math::rand(i,j) | 将矩阵a重新初始化为0～1之间均匀分布的随机数矩阵，或者生成一个i×j矩阵，并用0～1之间均匀分布的随机数初始化。 运行错误：1：数组不存在；2：不是二维数组（矩阵）；3：内存错误；4：参数太多或者太少。
math::randn(a) math::randn(i,j) | 将矩阵a重新初始化为均值为0，方差为1的标准正态分布的随机数矩阵，或者生成一个i×j矩阵，并用均值为0，方差为1的标准正态分布的随机数初始化。 运行错误：1：数组不存在；2：不是二维数组（矩阵）；3：内存错误；4：参数太多或者太少。
math::inv(a) | 矩阵求逆。运行错误：1：不可识别对象；2：不是n×n矩阵；3：内存错误；4：矩阵奇异。
解方程函数 |
math::netn | 求非线性方程组一组实根的拟牛顿法。
math::btFindRoot | 对分法求非线性方程的实根。

1 什么是LuMath [返回页首]

LuMath32.dll是一个Lu数值计算扩展动态库，该库以线性代数特别是矩阵运算为基础。

在LuMath中的函数是通过二级函数命名空间“math”输出的，所有函数均具有类似“math::matrix(...)”的格式。使用!!!using("math");可简化LuMath中的函数访问。

LuMath库的数组是C格式的，元素序号是基于0的。

LuMath库函数具有内存消耗低、执行效率高、代码简洁、实用性强的特点。

LuMath的源代码是开放的，源代码下载：http://www.forcal.net/xiazai/lu1/lu1code.rar

LuMath库中所用的算法或许不是最好的，如果您有好的算法，可以方便地进行替换，提升LuMath的性能。

LuMath库可用于开发极致性能的应用程序，是熟悉C/C++、Fortran的数学爱好者的极佳的练手工具，同时也期望对一般的数值计算用户提供越来越多的方便。

限于作者水平，期待与朋友们共同完善LuMath！如果您有什么好的算法，任何改进的意见或建议，请与作者联系。

本库仅是抛砖引玉，任何喜欢LuMath的个人、团队或商业公司可基于此库开发商业程序。

2 LuMath数组（矩阵）对象基本用法 [返回页首]

借助Lu编译器的支持，LuMath中的数组（矩阵）对象有以下简洁的用法。

设A、B是LuMath数组（矩阵）对象：

A.=B //将对象B赋值给对象A

A.=A+B //将对象A+B赋值给对象A

A[2]=A[2]+1 //将一维数组A第2个单元的值加1

A[2,3,5]=A[3,1,2]+1 //将三维数组A的第[2,3,5]个单元的值赋值为A[3,1,2]+1

A.*2.0 //数组（矩阵）A的每一个元素乘以2.0

若A是一个LuMath矩阵：

A(type) //返回与矩阵A同样大小的矩阵，并根据type的值进行初始化。type的可选值为zeros（全0矩阵）、ones（全1矩阵）、eye（单位矩阵）、rand（0～1之间均匀分布的随机数）、randn（均值为0，方差为1的标准正态分布的随机数）。

A(all:j) //取矩阵A第j列所有元素。all是一个常量，在这里表示取所有行

A(i:all) //取矩阵A第i行所有元素。all是一个常量，在这里表示取所有列

A(i,i+m:all) //取矩阵A第i～i+m行所有元素。all是一个常量，在这里表示取所有列

A(all:j,j+m) //取矩阵A第j～j+m列所有元素。all是一个常量，在这里表示取所有行

A(i,i+m:j,j+n) //取矩阵A第i～i+m行，并在第j～j+n列的所有元素

A(all:j)=B //设置矩阵A第j列所有元素，B是一个数组。all是一个常量，在这里表示取所有行

A(i:all)=B //设置矩阵A第i行所有元素，B是一个数组。all是一个常量，在这里表示取所有列

A(i,i+m:all)=B //设置矩阵A第i～i+m行所有元素，B是一个矩阵。all是一个常量，在这里表示取所有列

A(all:j,j+m)=B //设置矩阵A第j～j+m列所有元素 ，B是一个矩阵。all是一个常量，在这里表示取所有行

A(i,i+m:j,j+n)=B //设置矩阵A第i～i+m行，并在第j～j+n列的所有元素 ，B是一个矩阵。

[例子]

> !!!using["math"];
> main(:t0,k,i,a,b)=
> {
> t0=clock(),
> k=zeros(5,5), //生成5×5矩阵k，初始化为0
> i=0,(++i<=1000).while{//循环计算1000次
> a=rand(5,7), b=rand(7,5), //生成5×7矩阵a，7×5矩阵b，用0～1之间的随机数初始化
> k.=k+a*b+a(0,4:1,5)*b(1,5:0,4)+a(all:6)*b(3:all)
> },
> k.outa(), //输出矩阵k
> [clock()-t0]/1000. //得到计算时间，秒
> };

5 LuMath函数 [返回页首]

[返回页首] math::SetArray(a : x1,x2,... ...)：对数组或矩阵进行初始化

用法1：math::SetArray(a : x1,x2,... ...)：对数组或矩阵a进行初始化，从地址0开始存放数据x1,x2,... ...，初始化数据可以少于或多于数组大小，多余的数据被忽略。

用法2：math::SetArray(a : "1 -2 3 2.3 ... ...")： 对数组或矩阵a进行初始化，从地址0开始存放数据，数据存放在字符串"1 -2 3 2.3 ... ..."中，初始化数据可以少于或多于数组大小，多余的数据被忽略。

运行错误：1：非法的数组对象；2：非法的Lu字符串及其他参数；3：非法的数字字符串。

[返回页首] math::outa(a, precision, rl, index)：输出数组或矩阵

a：数组或矩阵，按列表方式输出 。
precision：有效数字位数（2～18），缺省是6位有效数字。
rl：左对齐或右对齐输出，非0表示右对齐。 缺省是右对齐。
index：index非0时输出数组元素下标。缺省是不输出数组元素下标。

运行错误：1：参数太多或者太少；2： 参数不符合要求；3：数组不存在；3：内存错误。

[返回页首] math::Sum(a,i)：数组元素求和

设有m维数组（含矩阵）：a(n1,n2,... ...,nm)，则Sum(a,i)对第i维求和，返回一个m-1维数组。若a是一维数组、1×k矩阵、k×1矩阵、i<1或者i>m，则Sum函数返回所有数组元素的和。Sum(a)相当于Sum(a,m)。

运行错误：1：参数太多或者太少；2：数组不存在 ；3：数组维数太多；4：内存错误。

[返回页首] math::ndgrid(x1,x2,...,xn : &y1,&y2,...,yn)：生成n维函数的辅助格点阵列

x1,x2,...,xn：均是一维数组。
&y1,&y2,...,yn：返回n维函数的辅助格点阵列。
返回值：无意义。

运行错误：1：参数太多或者太少；2：数组不存在；3： 不是一维数组；4：内存错误。

例子：

> !!!using["math"];
> mvar:
> ndgrid[linspace(0.0,1.0,0.0011),linspace(1.0,2.0,0.0009),&x,&y],
> Sum[cos(1.0-sin((1.2).*x.^(y./2.0)+cos(1.0-sin((1.2).*y.^(x./2.0))))),0];

相当于：

> f(x,y)=cos(1.0-sin(1.2*x^(y/2.0)+cos(1-sin(1.2*y^(x/2.0)))));
> sum[@f:0.0,1.0,0.0011:1.0,2.0,0.0009];

[返回页首] math::arrayfun(hFor:x1,x2,...,xn : xx)：以 实数数组元素为自变量进行函数调用。

hFor为函数句柄；x1,x2,...,xn : xx为等长的 实数数组（忽略维数）；xx用于存放结果，可缺省。若缺省xx，返回一个实数数组存放结果，否则该函数返回xx。该函数以数组x1,x2,...,xn的第i个元素为自变量，用函数hFor进行计算，结果存入xx的第i个单元。

运行错误：1：至少需要2个参数；2：指定的表达式不存在；3：数组个数与自变量个数不相等；4：不是实数数组；5：数组长度不匹配；6：内存错误 ；7：函数应返回一个实数。

例子：

> !!!using["math"];
> f(x,y)=x+y;
> arrayfun[@f,linspace(1.,5.,5),linspace(1.,5.,5)].o[];

[返回页首] math::reshape(a,... ...)：改变数组（矩阵）形状

格式1：math::reshape(a)：将矩阵重置为一维数组。
格式2：math::reshape(a,i,j)：将矩阵a（或一维数组）重置为i×j矩阵，保持总元素不变。
格式3：math::reshape(a,i,j,k,...)：改变多维数组的维数大小，保持维数和总元素不变。

运行错误代码：1：参数太多或者太少；2：实数数组不存在；3：数组维数小于1；4：数组不匹配。

[返回页首] math::matrix(m,n:x11,x12,... ...)：或者math::matrix(str)：申请m×n矩阵并初始化。

m,n：矩阵的行和列。初始化数据 x11,x12,...,x1n,x21,x22,...,x2n,... ...,xm1,xm2,...,xmn 可以缺省部分及全部，多余的数据被忽略。
str：字符串，包含矩阵数据，数据之间可以用空格或逗号分隔。此时，将自动确定矩阵的行和列。例如以下是一个2×3矩阵字符串：

> "1 1.2 3,
> 2.2 3, 5"

运行错误：1：参数不符合要求 ；2：字符串矩阵每行中数据个数不同；3：字符串中数据非法。

[返回页首] math::subg(a, ... ...)：返回一个矩阵的子矩阵

subg(a)：返回矩阵a的副本。
subg(a:type)：返回与矩阵a同样大小的矩阵，并根据type的值进行初始化。type的可选值为zeros（全0矩阵）、ones（全1矩阵）、eye（单位矩阵）、rand（0～1之间均匀分布的随机数）、randn（均值为0，方差为1的标准正态分布的随机数）。
subg(a:all:j)： 取矩阵a第j列所有元素。all是一个常量，在这里表示取所有行。
subg(a:i:all)：取矩阵a第i行所有元素。all是一个常量，在这里表示取所有列。
subg(a:i,i+m:all)：取矩阵a第i～i+m行所有元素。all是一个常量，在这里表示取所有列。
subg(a:all:j,j+m)：取矩阵a第j～j+m列所有元素。all是一个常量，在这里表示取所有行。
subg(a:i,i+m:j,j+n)：取矩阵a第i～i+m行，并在第j～j+n列的所有元素。

运行错误：1：参数太多或者太少；2：数组不存在；3：不是二维数组（矩阵）；4：不可识别的类型标识type；5：无法定位矩阵的行或列 ；6：内存错误。

[例子]

> !!!using["math"];
> main(:a)=
> a=matrix[6,5].rand(),
> a.outa(),
> a.subg(all:3).outa(),
> a.subg(3:all).outa(),
> a.subg(3,5:2,3).outa();

[返回页首] math::subs(a, ... ...,b)：设置一个矩阵的子矩阵

subs(a:b)：将矩阵b赋值给矩阵a，a与b应具有相同的结构。
subs(a:all:j,b)：对矩阵a第j列所有元素赋值，b是一个等长的一维数组。all是一个常量，在这里表示取所有行。
subs(a:i:all,b)：对矩阵a第i行所有元素赋值，b是一个等长的一维数组。all是一个常量，在这里表示取所有列。
subs(a:i,i+m:all,b)：对矩阵a第i～i+m行所有元素赋值，b是一个相同大小的矩阵。all是一个常量，在这里表示取所有列。
subs(a:all:j,j+m,b)：对矩阵a第j～j+m列所有元素赋值，b是一个相同大小的矩阵。all是一个常量，在这里表示取所有行。
subs(a:i,i+m:j,j+n,b)：对矩阵a第i～i+m行，并在第j～j+n列的所有元素赋值，b是一个相同大小的矩阵。
返回值：返回a。

运行错误：1：参数太多或者太少；2：数组不存在；3：不是二维数组（矩阵）；4：数组不匹配；5：无法定位矩阵的行或列。

[返回页首] math::netn(f,x,eps,t,h,k)：求非线性方程组一组实根的拟牛顿法

f：自定义二元或2n(n>1)元函数句柄，但必须由二级函数HFor获得该句柄。由用户自编。

如果f是二元函数，则两个参数为等长的一维数组：

> f(x,y)= //二元函数，x[i]为自变量，y[i]为方程右端点函数值
> {
> y[0]=f1(x[0],x[1],...,x[n-1]),
> y[1]=f2(x[0],x[1],...,x[n-1]),
> ... ...
> y[n-1]=fn(x[0],x[1],...,x[n-1])
> };

或者：

> f(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)= //2n元函数，xi为自变量，yi为方程右端点函数值
> {
> y1=f1(x1,x2,...,xn),
> y2=f2(x1,x2,...,xn),
> ... ...
> yn=fn(x1,x2,...,xn)
> };

x：双精度实型一维数组，长度不小于n，存放一组初值，返回方程组的一组实根。
eps：控制精度（eps>0）。可缺省该参数，缺省值eps=1e-6。
t：控制h大小的变量，0<t<1。可缺省该参数，缺省值h=0.1。
h：增量初值，在本函数中将被破坏。可缺省该参数，缺省值h=0.1。
k：允许的最大迭代次数。可缺省该参数，缺省值k=100。

返回值：返回值为实际迭代次数。若返回值为-1表示代数方程奇异，若返回值为-2表示β=0，这两种情况可放宽精度要求、改变各个初值或改变各个方程顺序再试；若返回值等于0说明迭代了k次仍未满足精度要求，程序工作失败。

运行错误代码：1：参数太多或者太少；2：指定的表达式不存在；3：方程f参数个数不符合要求；4：实数数组不存在；5：数组元素太少；6：精度、控制变量、迭代次数等不符合要求；7：内存错误 ；8：用户删除了自定义二元函数中的工作数组。

[例子]

> f(x1,x2,x3,y1,y2,y3)= //函数定义
> {
> y1=x1*x1+x2*x2+x3*x3-1.0,
> y2=2.0*x1*x1+x2*x2-4.0*x3,
> y3=3.0*x1*x1-4.0*x2+x3*x3
> };
> !!!using["math"];
> main(:x,i)={
> x=new{real_s,data : 1.0,1.0,1.0}, //设置初值为1.0,1.0,1.0
> i=netn[@f,x], //拟牛顿法解方程
> x.outa(), //输出结果
> i //返回迭代次数
> };

或者：

> f(x,y)= //函数定义
> {
> y[0]=x[0]*x[0]+x[1]*x[1]+x[2]*x[2]-1.0,
> y[1]=2.0*x[0]*x[0]+x[1]*x[1]-4.0*x[2],
> y[2]=3.0*x[0]*x[0]-4.0*x[1]+x[2]*x[2]
> };
> !!!using["math"];
> main(:x,i)={
> x=new{real_s,data : 1.0,1.0,1.0}, //设置初值为1.0,1.0,1.0
> i=netn[@f,x], //拟牛顿法解方程
> x.outa(), //输出结果
> i //返回迭代次数
> };

[返回页首] math::btFindRoot(f,a,b,h,k,eps)：对分法求非线性方程的实根

f：自定义一元函数句柄。函数自变量不能重新赋值。
a,b：求根区间的左端点和右端点（b>a）。
h：搜索求根时采用的步长（h>0）。
k: 可能的实根个数。可缺省，缺省值为10。
eps：控制精度（eps>0）。可缺省，缺省值为1e-6。

返回值：返回一个数组（存放搜索到的实根），或者返回nil。若返回数组的长度为k，则有可能在求根区间[a,b]内的实根未搜索完。

运行错误代码：1：参数太多或者太少；2：指定的函数不存在；3：不是一元方程；4：自变量不能重新赋值；5：参数设置不符合要求；6：内存错误；7：指定的函数应返回一个实数。
例子：

> f(x)=x^6-5*x^5+3*x^4+x^3-7*x^2+7*x-20; //函数定义
> math::btFindRoot[@f,-2.,5.,0.2].o[];

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最近更新: 2013年11月08日